LA BELLESA DELS FRACTALS

Recordo ben bé, quan va ser la primera vegada que vaig sentir parlar dels fractals. Va ser en un exemplar de la revista "Integral" que per aquells anys llegia assiduament, i que encara conservo en algun lloc, tancat en una caixa amb tants d'altres. Fa uns quants anys el tema dels fractals estava de moda entre determinats medis intel·lectuals, alternatius, érem molts els qui amb els ulls sorpresos ens endinsàvem en aquestes meravelloses formes fractals que tot i no comprendre molt bé, ens tenien fascinats.
Avui en dia, aquesta moda a desaparegut, sinó totalment, sí en bona mesura, i els fractals i les matemàtiques del caos, s'amaguen en els tractats científics dels matemàtics, dels físics i dels informàtics, tot i que de tant en tant, algú ens porta alguna notícia sobre els aplicacions d'aquests fractals a la salut, a la tecnologia, a la comprensió de la realitat, a l 'experiència artística.
Els pares d'aquesta relativament nova ciència, és preguntaven coses que la resta dels científics donaven per suposades; per exemple: “el temps llisca amb suavitat, o contràriament, ho fa a petits saltets com una seqüència de fotogrames en una pel·lícula còsmica?”, o “com pot ser que l'ull pugui captar formes i colors consistents en un univers que, segons la física quàntica, no és sinó un canviant caleidoscopi?”.
Evidentment per a entendre d'aquests temes s'havia d'anar una mica més enllà de la ciència clàssica que s'acaba, precisament allà, on comença la ciència del caos.
Segons una afortunada definició “el caos és la ciència del procés abans que de l'estat, de l'esdevenir i no de l'ésser”.
Per damunt els diferents disciplines científiques, el caos és considera la ciència de la natura global dels sistemes, i els que desenvolupent aquesta ciència creuen cercar la comprensió de la totalitat.

La paraula fractal va ser usada per primera vegada fa menys de 25 anys, pel matemàtic polonès Benoit Mandelbrot en el seu treball "La geometria fractal de la naturalesa". Va fer derivar la paraula del verb "fractus", que significa trencar en fragments irregulars. En l'esotèric llenguatge dels matemàtics: la dimensió d'un fractal és fraccionària. Un fractal és un objecte geomètric que la seva estructura bàsica es repeteix en diferents escales. En molts casos els fractals poden ser generats per un procés recursiu o iteratiu capaç de produir estructures autosimilars independentment de l'escala específica. Els fractals són estructures geomètriques que combinen irregularitat i estructura.

Encara que moltes estructures naturals tenen estructures de tipus fractal un fractal matemàtic és un objecte que té almenys una de les següents característiques: té detall en escales arbitràriament grans o petites, és massa irregular per a ser descrit en termes geomètrics tradicionals, té autosimilitud exacta o estadística, la seva dimensió de Hausdorff-Besicovitch és major que la seva dimensió topològica, o és definit recursivament.
Benoit Mandelbrot, el pare de la geometria fractal, va ser un de tants altres visionaris del caos i dels fractals, que va tenir la sort de veure realitzats els seus somnis al materialitzar el seu engendre matemàtic i fer-li correspondre una realitat pertanyent a la naturalesa.

Això és l'única cosa que el distingeix d'altres matemàtics que ja en el segle XIX topaven amb les qualitats paradògiques i incomprensibles de certs objectes sorgits dels seus passatemps i quefers matemàtics i tot això gràcies a una eina que li va servir per a tal fi a Mandelbrot: l'ordinador. I és que a Mandelbrot li sobraven ordinadors ja que treballava en la IBM i disposava al seu abast d'una gran quantitat de recursos informàtics.
El mateix ens explica el que és un fractal en el seu article: “Quina longitud té la costa de la Gran Bretanya?”

“Cap a la fi del S. XIX quan el parlament anglès va necessitar redefinir les seves fronteres. Mentre discutien, un Lord va preguntar en veu alta"Quant amida la costa de Gran Bretanya?"

La seva pregunta no va obtenir resposta, és per això que es va encarregar a un jove cartògraf una gran empresa, la medició de tota la costa.El jove cartògraf va començar el seu medició, per a això va utilitzar una cinta de 50 metres de llarg. Va trigar 10 anys a amidar tota la costa i realitzar l'informe per a la Cámara. El seu veredicte va ser tallant "Amida, 2.000 km". Els parlamentaris satisfets van prendre nota, tots excepte un que li va preguntar sobre la tècnica que havia utilitzat per a amidar. El ja no tan jove cartògraf va exposar la tècnica que va aplicar a la medició. El Lord, escandalitzat va objectar "una medició de 50 m no té en compte els possibles entrants i sortints del mar, deu amidar-se amb una regla de 10 m."
El ja experimentat cartògraf, resignat, va emprendre el seu viatge per la costa d'Anglaterra amidant cada 10 metres. Durant 10 anys va amidar i amidar els penya-segats i les platges de la seva país. Una vegada en el parlament, 10 anys desprès, va exposar els resultats de la seva medició: "La costa amida 2.800 Km". Tots es van sorprendre per la diferència entre aquesta medició i la medició anterior, es va prendre bona nota i es va proposar passar al següent punt. Satisfet pel treball realitzat, el cartògraf es disposava a marxar quan algú en la sala va objectar el següent: "una regla de 10 m. és massa llarga per a amidar la costa, existeixen roques i petits sortints que no s'han pres en compte, ha de ser amidada amb una regla de 1 m."

Resignat, el cartògraf es va disposar a tornar a amidar la costa que tan bé coneixia, durant 10 anys i algunes xacres en l'esquena, va amidar cada metre, cada roca i cada sortint de costa.En la exposició de les seves conclusions davant el parlament anglès va mostrar la nova medició, 3.600 Km. "

És així doncs, que el pobre cartògraf estava condemnat per a tota l'eternitat a amidar la costa de la seva país utilitzant cada vegada unitats mes petites de mesura i sense trobar mai 2 mesures iguals.
Si em pregunten quant amida la costa d'un determinat país, així i sense pensar detingudament en això, diríem que la resposta és fàcil. Tan simple com buscar la dada en la Enciclopèdia Espasa de cent i escaig volums.

Res més lluny de la realitat. La mesura dependrà de l'exactitud i precisió de la regla utilitzada. Si usem una regla de 1 metre tindrem una aproximació a la longitud de la costa, però com hi ha racons inferiors al metre, contant que la regla no la podem partir per a precisar més en la mesura, ens trobem amb que el resultat és una mera aproximació.
I si la regla fora de 1 cm? Doncs la mesura obtinguda seria més exacta però no deixaria de ser una aproximació ja que l'escala usada per a amidar és arbitrària i podem triar-la al nostre gust. Sempre podríem optar per una regla d'un mm., o de la mil·lèsima part d'un mm., o tal vegada d'una milionèsima part de mm., …, és a dir, sempre podem escollir una escala més petita.
Els egipcis amidaven en colzes, unitat poc exacta, però que bastava i sobrava per als seus càlculs. I encara així no deixa de sorprendre'ns la seva cultura i el rerefons matemàtic que s'olora en veure una piràmide.
Nosaltres hem realitzat un gran avanç amb el sistema decimal de numeració i els sistemes de mesures, però pensem que l'espai no només s'amida en metres, cm. o mm., sinó que existirà sempre una unitat tan petita com vulguem i si l'escala que escollim és infinitesimal, la longitud de la costa de Bretanya serà “infinita”.
Pensem en un mapa mundi i en el contorn que veiem al fixar-nos en la costa de qualsevol país. Distingim línies corbes que defineixen el contorn però no reflecteixen la realitat, doncs la seva irregularitat no pot reflectir-se en un trosset de paper.

Aquesta irregularitat l'apreciarem millor en una foto presa des d'un satèl·lit geostacionari i si anem fent successives ampliacions mantenint el nivell de detall, distingirem badies, penínsules, sub-badies, sub-penínsules i així "fins a l'infinit i més enllà"

No és el mateix que la mesura sigui presa per un vaixell a través d'un recorregut físic, que la realitzi una persona caminant pel litoral, ni que ens la donés un pacient cargol i molt menys una puça saltanera. Cada vegada obtindríem una mesura major que l'anterior i el seu límit tendiria a l'infinit, però fixem-nos que l'àrea que tanca aquesta línia infinita seria finita i quantificable.

El quid de la qüestió és la irregularitat o escabrositat dels objectes que tenim al nostre al voltant i aquesta escabrositat la qual ens impossibilita amidar les coses prenent com referència les 3 dimensions del plànol euclidià, que es mostra insuficient per a segons quins menesters.
La dimensió fraccionària fractal amida el grau de escabrositat i/o discontinuïtat d'un objecte presentant un grau d'irregularitat constant a diferents escales. Al final resulta una irregularitat regular.
El grau d'irregularitat d'un objecte no és altra cosa que la seva eficàcia per a ocupar espai i resulta que hi ha línies que són més eficaces que altres a l'ocupar espai, com la corba de Koch que té dimensió 1''272618, ja que és un objecte a cavall entre la línia i la superfície. En certa mesura arriba a doblegar la dimensió i obtenir més d'ella, com ho fa la corba espai-temps en la Teoria de la Relativitat.

Hi ha multitud d'exemples de fractals: el floc de neu de Koch, el triangle de Sierpinski, la corba de Cesàreo, la corba del Drac, la de Hilbert, … i tots ells ens semblen criatures estranyes i … belles, mostren una complexitat regular i una autosemblaça interminable.
Amb l'article sobre la longitud de la costa de la Gran Bretanya, Mandelbrot va tornar a trobar-se amb la qualitat de la autosemblança, com en la corba de Koch.
Diàriament observem multitud d'objectes amb un contorn llis que vistos amb ulls fractals es tornaran tan escabrosos com vulguem. Sempre han estat entre nosaltres: en les falgueres, en els nostres pulmons, en les cols (sinó ho creus mira'ls una amb una lupa d'augment), en la xarxa bronquial, en els flocs de neu, en les conques hidrogràfiques, en les muntanyes, en el creixement de certs els vegetals, …

Una pinya.

Un romanescu

Un bròquil

Una fulla

La flor del girasol

Les branques d'un arbre

Les falgueres

Alguns cactus

L'aloe vera circular.

Alguns animals marins.

Petxines.

Les ales de les papallones.

Les muntanyes i les costes.

Els cristalls de gel.

Els llamps.

Els núvols

Les galàxies.

La Naturalesa es fractal.

Aquesta afirmació és la base sobre la qual gira l'explicació. Simple? Veurem que en la senzillesa hi ha moltes més respostes del que esperàvem.
anem a un bosc o paisatge muntanyenc proper i observem al nostre al voltant. Veiem línies rectes o prismes quadrangulars?
Categòricament, no. Tot al nostre al voltant ens semblarà irregular i escabrós. Representar els contorns dels objectes que observem es convertirà en tasca impossible. La naturalesa és així.
De totes les concebibles formes que pugui posseir un objecte, la regularitat de les seves parts respecte al tot és la qual té la més remota possibilitat d'existència. Si no ho tenim clar, provem a ajupir-nos en aquest bosc i omplim un carro sencer de pedretes triades atzarosament del sòl. No haurà cap geomètricament regular ni amb perfecta forma esfèrica, però estadísticament és possible que topem amb alguna. Si així fos, considerem-nos com l'ésser més afortunat de l'Univers.
La naturalesa, doncs, és escabrosa i sinuosa, allunyada de les boniques formes que tan alegrement ens ensenyen en els nostres estudis primaris. Res de rectes, ni de quadrats, ni de cilindres o esferes perfectes. Els objectes naturals solen assemblar-se més a patates amb protuberàncies i clots a la seva superfície.
La geometria euclidiana no és l'adequada per a representar la realitat en la qual vivim, de fet, és la qual pitjor ho fa. Però com humans que som ens quedem fascinats davant els objectes bellament proporcionats, amb unes mesures ideals i característicament harmòniques. La bellesa és harmonia, proporció entre les part i el tot. Així ha estat des que l'home va crear l'art. I la veritat és que les matemàtiques d'aquests objectes són fàcils de recrear, però no creiem que en una falguera oposada al nostre "hipotètic" bosc no existeixen matemàtiques belles. Hi són, però cal saber trobar-les.
En certa mesura, com deia Pitàgores, el món pot llegir-se en nombres.
Si ara ens anem del bosc i vam regressar a la trista i crua realitat, veurem que en la nostra vida diària fugim de les formes naturals i anteposem la bellesa i practicabilitat de les formes regulars:
 plats i rodes circulars
 edificis i caixes com prismes rectangulars
 balons esfèrics
 rajoles quadrangulars

Una Realitat Fractal?

El cas és que si volem representar la realitat natural, no podem usar la geometria de Euclides. La geometria fractal és més adequada per a aquest tipus de representacions, sinó que l'hi diguin a Mandelbrot, autor de "La geometria fractal de la Naturalesa" i considerat el pare dels fractals.
No afirmo que la geometria fractal sigui l'instrument per a representar tota la naturalesa, però si és cert que s'ajusta molt bé a alguns casos concrets que veurem a continuació. Pensem que la geometria fractal és una mica nou i està embolicada en una dura pela que els matemàtics, físics i altres científics estan intentant esmicolar per a contemplar tot el seu interior.
El problema amb qualsevol definició d'un fractal és que existeixen objectes que un volgués cridar fractal, però que no satisfan totes les propietats anteriors. Per exemple, fractals de la naturalesa, com núvols, muntanyes, i vasos sanguinis, tenen limitis inferiors i superiors en detall; no existeix un termino precís per a "massa irregular"; existeixen diferents maneres per a definir "dimensió" amb valors racionals; i no tot fractal és definit recursivament. Els fractals estocàstics estan relacionats amb la teoria de el caos.
Alguns artistes ja havien percebut aquesta realitat fractal molt abans de l'aparició de les teories de Mandelbrot com podem veure en els següents exemples:

Núvols fractals

Ona fractal:

Salt d'aigua fractal:
A mode de conclusion

Podríem dir sense massa por a equivocar-nos, que el desenvolupament científic del segle XX passarà a la Història, en la memòria de l'home, per només tres coses: la Teoria de la Relativitat, d’Albert Einstein que va eliminar la il·lusió de l'existència de l'espai i del temps absoluts, la Mecànica Quàntica que va acabar amb el somni d'uns processos de medició controlables i la Teoria del Caos, considerada com la tercera gran revolució científica d'aquest segle que ha escombrat de manera definitiva la fantasia de la predicibilitat determinista...

Aquesta nova teoria afirma que tota la bellesa de la Naturalesa, amb la seva enorme polimorfía, no està subjecta a lleis complexes, sinó que prové de procediments molt simples, encara que de tipus no lineal. Per exemple, la molècula d'aigua és simplíssima, però si es congela i es junta amb altres molècules dóna origen a les complexes formes dels cristalls de neu. I cap cristall és exactament igual a un altre. Ara sabem que tot en la Naturalesa es comporta de manera no lineal; fins a fa molt poc no teníem la possibilitat d'un mètode matemàtic per a estudiar aquest fet. La nostra Matemàtica era lineal, estàtica.

La Geometria Fractal obeeix a una Matemàtica dinàmica, del moviment, del constant fluir, a la manera del presocràtic Heràclit.La conscienciació científica del Caos va començar amb els experiments de Edward Lorenz, en la dècada dels 60, sobre les variacions climàtiques de la Terra. Així va descobrir el cridat "fenomen de la papallona", segons el qual el suau vol d'una papallona a Xina pot influir en el clima dels Estats Units provocant huracans. Aquest estrany fenomen ens mostra que tot sistema dinàmic té una gran sensibilitat i dependència pel que fa a les condicions inicials. Aquesta sensibilitat i dependència inicial és la responsable de l'aparició del caos en qualsevol moment. Aquest descobriment es fa eco del refrany popular que diu: "Per un clau es va perdre la ferradura. Per una ferradura es va perdre el cavall, Per un cavall es va perdre el genet. Per un genet es va perdre la batalla. Per una batalla es va perdre l'Imperi".

L'ensenyament filosòfic del Karma és un exemple que pot ajustar-se a aquest model. Molt petits detalls, en la cadena de causes i efectes, poden provocar resultats immensament complexos, aparentment fortuïts, impredictibles i caòtics. No obstant això ara ja sabem que existeix també un Súper-Ordre dintre del Caos, i l'aparent caos i casualitat en la Vida i la Història obeeix a causes i lleis d'un nivell superior, dinàmic i no-lineal.

Va ser no obstant això el físic americà Mitchel Feickenbaum, un romàntic que busca la seva inspiració en Goethe i en Gustav Malher, qui va fer el gran descobriment: la qual s'ha donat a cridar Llei de la Universalitat. A mitjan la dècada dels 70 va descobrir la manera concreta que una conducta regular en un sistema passa a convertir-se en conducta caòtica. Va observar una classe de traspàs de l'ordre al caos que ocorria en un model matemàtic concret, i es va preguntar si aquest mateix traspàs, amb els mateixos ritmes de canvi, succeiria també en altres models. Així, va veure que de diferents equacions matemàtiques, de les quals ningú esperaria que sortissin els mateixos nombres, no obstant això sortien.

El nombre universal de Feickenbaun és un nou nombre transcendental (com el nombre auri, o el nombre i dels logaritmes neperians), que permet comprendre el caos. El seu valor és 4,6692016090, amb infinits decimals més.

La Universalitat expressa una llei natural dels sistemes en el seu pas de l'ordre al caos; és vàlida qualitativa i quantitativament, no només per a les formes naturals sinó també per als nombres exactes. El Caos i l'Atzar són l'expressió d'una Llei matemàtica desconeguda fins a ara, d'un Súper-Ordre de caràcter universal, vàlid per a qualsevol ésser o sistema en comportament dinàmic. La Universalitat significa que sistemes diferents es comporten de la mateixa manera, o dita d'altra manera, és el principi hermètic de: "Com és dalt és baix, com és baix és dalt".

Els sistemes dinàmics caòtics no responien no obstant això a cap model geomètric conegut capaç de descriure'ls. Es necessitava una nova Geomètrica capaç d'explicar-nos perquè la conducta caòtica de la Naturalesa, les seves formes informals i dinàmiques, ens semblen belles i estètiques; explicar-nos l'Estètica Natural, amb les seves lleis i causes, dels esquemes caòtics dels núvols, de les muntanyes, dels llampecs, dels rius, de les ramificacions arborescents, que no semblaven obeir a cap ordre establert, a cap model geomètric "lògic" i no casual.La Geometria Fractal, desenvolupada pel matemàtic americà Benoit Mandelbrot en els anys 70, va venir a cobrir aquest buit. El contingut d'aquesta nova Geometria són els cridats objectes fractals, la característica principal dels quals és la autosemblaça; és a dir, que cadascuna de les seves parts, en diferents escales de magnitud, és semblant al conjunt total. L'objecte es repeteix, es "reprodueix" a si mateix en les seves parts, en qualsevol escala que sigui considerat. Els objectes fractals són així éssers vius, amb capacitat de autoreproducció en l’ infinitament gran i en l’ infinitament petit.
A més la teoria del caos pretén donar resposta a un dels interrogants més misteriosos de la ciència: “com és possible que en un univers que totes els cuses s'encaminin decidides envers l'entropia, o sigui, el desordre cada cop més gran, pugui aparèixer l'ordre?. Doncs perquè l'ordre és suscita d'una manera espontània en tots els sistemes, doncs ordre i caos són simultanis.
Es tracta doncs de l'encarnació científica actual del Principi Hermètic de l'analogia "Com és dalt és baix, com és baix és dalt" que ja vam esmentar anteriorment.
No en va s'ha dit que “un fractal, és una dels maneres de veure l'infinit amb l'ull de la ment”